230问答网 > 设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），

2024-11-29 09:25:10

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回答1：

∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为R上的奇函数；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴当-3≤x₁ ＜x₂ ≤3时，
f（x₂ ）-f（x₁ ）=f（x₂ ）+f（-x₁ ）=f（x₂ -x₁ ）＞0，
∴f（x₂ ）＞f（x₁ ），
∴f（x）在[-3，3]上是增函数，
又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，
又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．