证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

你好LZ,可以用向量证，也可以用如下方法
设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)

可以证
α+β=90°
因为cos是在直角三角函数里用，所以α和β都不可能是90°的那个角
根据三角形内角和为180°
∴α+β=90°
∴cos(α+β）=0（这个是规定的）
可以设角α对应的边为a，角β对应的边为b，90°的角对应的边为c
那么cosα=b/c,cosβ=a/c
sinα=a/c,sinβ=b/c
然后相减就为0
∴cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

应该就是这样了
我没图
有图就更好说
不过你可以自己画
希望我的回答让你满意

由于本人级别低无法上传图像。。。公式就是以下：
根据两点间的距离公式推导：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。
则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。
∵
OA=OB=OC=OD=1
∴
CD=AB。
∵
CD2=[cos（α+β）-1]
2+[
sin（α+β）-0]
2；
=cos2（α+β）-
2cos（α+β）+1
+
sin2（α+β）；
=2-2
cos（α+β）。
AB2=（cosα-cosβ）2+
（sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+
sin2β；
=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
2-2
cos（α+β）=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
cos（α+β）=cosαcosβ-
sinαsinβ

晕倒 这是公式啊 书上都没得证的

最基本的公式，用单位圆证明
高中课上就有