高中数学函数的图像和性质

设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x),当0≤x≤1.5时，f(x)=x,则f(2003)=?

2024-12-28 21:17:14

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回答1：

f(x+3)=-f(x)
所以-f(x+3)=f(x)
f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x)
所以6是f(x)的一个周期
所以f(2003)=f(-1+334*6)=f(-1)
奇函数，f(-1)=-f(1)
1在0≤x≤1.5范围内，所以f(1)=1
所以f(2003)=-1

回答2：

因为f(x+3)=-f(x),
所以f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),
即f(x+6)=f(x),
所以周期T=6.
又因为f(2003)=f(333*6+5)=f(5),
且f(5)=f(3+2)=-f(2).
因为-f(2)=-f(3-1)=-[-f(-1)]=f(-1)，
且f(x)在R上是奇函数，
所以f(-1)=-f(1).
当0≤x≤1.5时,有f(x)=x，
所以-f(1)=-1.
即f(2003)=-1.

解答完毕！
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